张欣源：以兴趣和好奇心为数学研究的驱动力

学员简介

张欣源，现就读于北京师范大学附属实验中学，2018 年“英才计划”数学学科优秀学员，师从清华大学数学系张友金教授。

张欣源的研究课题总结了椭圆周长计算问题的历史发展，介绍了一些已有的椭圆周长近似法，并应用泰勒公式、级数和幂均值提出了一种新的、精度更高近似法，最终，利用新的近似法及拉马努金近似，以天体问题为例进行了估算和误差分析，该课题有望为工程、物理中的近似问题提供更优的近似方法。张欣源在 2018 年“英才计划”数学学科论坛获得优秀学员称号，此外，她还曾获得太空城设计大赛中国冠军、澳大利亚化学竞赛一等奖。

从初中开始，数学和物理就是张欣源最喜欢的两个学科。上高中以后，她常看数学和物理的课外书，比如《上帝掷 骰 子 吗？》《 时 间 简 史》《Thomas Calculus》等。她曾经参加物理竞赛、太空城市设计大赛等，加深了对数学和物理的喜爱和对天体问题的兴趣。“英才计划”招生时，张欣源怀着试一试的心态报名，最终通过面试，成为清华大学张友金教授的学生。平时隔周到清华大学上研讨课，在张友金和周坚两位教授的指导下，她学习了一些比较基础的高等数学，并在后期完成一篇论文参加英才论坛，被选 ISEF冬令营。

追随兴趣 尝试在理论领域创新

理论数学和理论物理是张欣源最喜欢的研究领域。因此，在思考研究课题时，她想到不少理论方面的项目，如利用新方法证明卡尔松不等式或欧拉公式、费马原理的证明等等。学校组织开题报告时，她介绍了证明卡尔松不等式的计划。然而，指导教授建议更换题目，不要研究理论数学，这是因为中学生目前数学水平不高，很难研究出有新意的、实用的成果，所以导师建议她寻找应用数学方面的课题。张欣源了解了应用数学的研究过程后，但仍觉得自己对理论数学更感兴趣。再次向教授请教确认后，张欣源仍认为自己可以尝试研究理论数学并追随自己的爱好，把能否获奖抛之脑后。

在学习开普勒三定律时，张欣源思考，椭圆面积可计算，但却不知道如何计算椭圆周长。她上网查阅相关文献，发现椭圆周长问题比自己预想的更加复杂：椭圆周长积分无法用初等函数表达。张欣源了解到了椭圆周长的广泛应用，她又查找了椭圆周长的各种近似公式，发现它们精度不够高，不能在天体问题或精密的工程计算中使用。于是在和教授沟通后，张欣源决定寻找一个精度更高、较为简单的椭圆周长近似公式，作为自己的研究课题。

研究过程中，她首先分析了椭圆周长无初等表达式的现状，并由此提出利用泰勒多项式进行近似估计的想法。她分析了历史上一些近似公式，如开普勒、欧拉提出的近似公式，以及常用的朴素估计，证明了这些公式的合理性，同时发现它们的精度较低。观察这些近似公式，张欣源发现它们都是考虑了半长轴与半短轴的某种平均值，于是她尝试将不同的平均方法线性组合，希望提高其精度。她首先对用到的所有公式进行光滑性分析，并将有关函数泰勒展开。通过解线性方程组，得到不同平均值公式组合的组合系数。最后得到她自己的幂均值公式，将幂均值公式应用于天体运行问题，她计算了天体运行的轨道周长；与之前提到的公式的计算结果做对比，发现幂均值公式可以有效提高周长精度，还找到了相对误差和离心率间的关系。

张欣源表示，课题研究对他数学水平的提升和对思维的训练绝不亚于应用数学，创新也是有可能的。人们往往认为理论数学缺乏实际意义，但历史上的反例不可胜数，如罗巴切夫斯基和黎曼研究非欧几何时，他们并不知道非欧几何会被应用在爱因斯坦的相对论中。张欣源觉得，在数学研究中，以兴趣和好奇心为驱动力是可以接受的。

引导讨论 研讨班式教学获提升

张欣源在清华大学参加“英才计划”活动时，形式并非进行数学研究，而是在教授指导下举办“讨论班”，学习高等数学，如证明泰勒公式、寻找斐波那契数列通项公式、推导伯努利数等。之所以称之为“讨论班”，是因为这些课并非由教授全程为学生讲解，而是教授们引导讨论，先提出问题，学生们轮流上台解释自己的思路。

当大家没有思路时，坐在后面的教授们才会给予提示。张欣源第一次上讲台解释如何证明泰勒公式时，因为表达不严谨被教授批评，这让她意识到自己平时不够重视解决问题的准确性和完整性。张教授和周教授比较喜欢直爽地指出同学的问题，张欣源最开始无法接受，觉得在同学们面前被指出错误很丢人，但后来发现只有这样才能快速、深刻地意识到自己从未发现的问题，也慢慢锻炼出接受问题、不畏惧表达、及时改正错误的良好心态，认识到高等数学和初等数学的一些区别，明白了高等数学应有的学习方法和态度。

接受挫折 做科研并非一帆风顺

做科研的过程中难免遇到困难。张欣源在最初研究时不能熟练使用 matlab，大量的泰勒展开等工作只能按计算器手算。她回忆到，科创大赛提交论文前，由于还需要准备其他考试占用了很多时间，导致她这篇论文的大量计算和写作工作滞留到截止日期前的最后几天，时间紧迫，每天都是凌晨一两点才睡。她说有一次头脑不太清醒，求导后算错了一个数字，忘记乘括号外的“2”，导致后面方程组出现错误，运算结果明显不对。她检查了好几遍都找不出错误，十分着急，请教芝加哥大学的徐长吉博士，终于发现了问题所在。

论文完成后，张欣源和张友金教授交谈时，教授说，这些是正常的，大家在研究过程中都会有失误。慢慢地，张欣源学会了接受在研究过程中出现的种种问题，也明白在遇到困难时要对自己有信心，尽量高效地寻找解决方案，也不要羞于向他人求助。

此外，她学会查阅书籍和文献资料，在 Word 文档中输入数学公式、制作图表，学会制作幻灯片把自己的课题清晰明了地介绍给他人。在英才论坛中，她也认识到很多来自全国各地的、热爱数学的朋友。在论文答辩时，张欣源采用全英文演讲，锻炼了自己的英文口语表达能力。

导师简介

张友金，清华大学数学系教授，博士生导 师。1987 年、1990 年 和 1993 年 分 别 本 科、 硕 士 和博士毕业于中国科技大学数学系。1990 年至 1991 年在俄罗斯斯捷克洛夫数学所圣 . 彼得堡分所作访问学者，1994 年初至 1999 年底在国际理论物理中心 (ICTP)、意大利国际高等研究院 (SISSA) 和日本京都大学数学系从事博士后研究，1999 年 12 月起在清华大学数学科学系任教。2000 年获国家杰出青年基金，2008 年入选教育部长江学者奖励计划。

张友金教授主要从事数学物理与可积系统理论方面 的研究，涉及仿射 Weyl 群轨道空间的几何、可积系统与 Frobenius 流形之间的内在联系、量子上同调和 Gromov-Witten 不变量理论中的 Virasoro 猜想以及可积系统的分类理论等方面。

责 编：彦 莹

来 源：科协改革进行时（ID:kxgg_2016）